Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, а t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Здравствуйте! Сегодня мы с вами попробуем разобраться, что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост - возрастание величины в геометрической прогрессии. Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии, что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов. Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это, можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем. Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t). Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий как функция от времени равно: начальное количество бактерий, то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита). В данном случае это количество, с которого мы начинаем. Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста. Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество. t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю, а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице. Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно, если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение, то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение – и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно. Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем, что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу: b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении. Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt. Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли выполнить первую часть задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. А как же нам найти k? А вот у нас далее идет второе значение количества бактерий: спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук. О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt. Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k. Таким образом, 420=100*е в степени k. Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим обе части равенства на 100. Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства. Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k, нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом, k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число. Мы позже найдем его с помощью калькулятора. Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100, выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k: k=ln(4,2). Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны. Следовательно, вот ответ на первый пункт задания: функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100, умножить на е в степени kt, а поскольку k=ln(4,2), то получаем е в степени (ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция. Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания. Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа. Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа. Итак, b(3)=100*е в степени (ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения, если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2? Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом. Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень, значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь, то дальше все понятно. А чему же равно е в степени ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том, в какую степень надо возвести число е, чтобы получить 4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит, 100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет (4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся. Вот ответ на второй пункт нашего задания. А найти значение можно с помощью калькулятора. Вы и сами можете это сделать. Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа. Что в этом пункте от нас хотят? Нам надо найти угол наклона вот этой функции. Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3. Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания. Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово. Итак, переходим к третьему пункту. Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции. Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна? Давайте воспользуемся цепным правилом, т.е. принципом дифференцирования сложной функции. Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией. А производная вот этого выражения равна ln(4,2) умножить на производную е в степени ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить, чему он будет равен при t=3. Следовательно, b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто (4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на (4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов. Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3. Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать: е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е, чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х, я получаю х. Вот все, что я хотела сказать. Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)= (4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать наше первоначальное выражение следующим образом: 100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания. Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта было бы проще. Ну а что касается третьего пункта, то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку найти производную вот этого выражения намного легче. Мы можем переписать вот это выражение как: b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t. Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это. Извините, я тут уже так начёркала. И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания: найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту. Через какое время количество бактерий достигнет 10.000? Давайте сначала запишем наше выражение немного проще. Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t). А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t. У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет 10.000. Другими словами, при каком значении t функция b(t) равно 10.000. Итак, 10.000=100*е в степени ln(4,2)*t. Давайте посмотрим, что у нас здесь. Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно, 100=е в степени (ln(4,2)*t). А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов. Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен..., а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени, то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени. Другими словами, у нас остается только логарифм выражения, которое находится в степени. Итак, давайте это запишем: ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t, нам надо обе части равенства разделить на ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2)) Таким вот образом мы найдем время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Осталось только взять калькулятор и найти значение этого выражения. А давайте теперь ради интереса, рассмотрим упрощенную версию нашего выражения. Итак, что бы у нас получилось: 100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100. Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это, нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно, t равно логарифму 100 по основанию 4,2. Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма. Очень важно знать, как можно вычислить логарифм по основанию какого-то числа. Поскольку на калькуляторе вы можете найти логарифм только по основанию е или 10. А как найти логарифм по основанию любого другого числа? Мой ответ – очень просто: надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его на натуральный логарифм вот этого значения. Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2. Все, на этом мы, наверное, закончим, чтобы у вас в голове все не перепуталось. Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост. Мы могли вместо «колонии бактерий» написать «начальная сумма вклада составляет 100 и растет пропорционально своему размеру». Тогда это было бы сложными процентами. А здесь мы могли бы сказать, что «спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара. В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты. В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем. В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему, а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание. До скорой встречи!

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N ). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt , тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция .

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K , членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K , значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая , логистическое уравнение , уравнение Вольтерры , уравнение Лотки-Вольтерры . (Вито Вольтерра, 1860–1940 - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Лабораторная работа №1.

«Динамика численности популяций».

Моделирование динамики популяции с помощью расчетной программы

Цель работы: Изучить модели динамики численности популяции с помощью расчетной программы.

К работе допущен

Работу выполнил

Работу защитил

2010 г.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Согласно определению известного русского эколога С.С.Шварца, популяция – это элементарная группировка организмов определенного вида, обладающая всеми необходимыми условиями для поддержания своей численности длительное время в постоянно изменяющихся условиях среды.

Популяции, как и любой биологической открытой системе, свойственны определенная структура, рост, развитие, устойчивость к абиотическим и биотическим факторам.

Наиболее важным показателем благополучия популяции (устойчивости), ее роли в функционировании природной экосистемы является ее численность.

Численность популяции определяется в основном двумя явлениями – рождаемостью и смертностью, а также миграцией.

Рождаемость - количество новых особей, появившихся в единицу времени в результате размножения. В процессе размножения число особей возрастает, теоретически она способна к неограниченному росту численности.

Существуют различные типы изменения численности особей в популяции в зависимости от времени (динамики популяции). В наиболее простых случаях динамика популяции может быть описана несложными математическими моделями, которые позволяют прогнозировать изменение численности особей.

1. Экспоненциальный рост численности.

Одна из наиболее ранних моделей роста численности особей популяции была предложена Т. Мальтусом 1798 году, в широко известной работе "О принципах народонаселения". Данная модель получила название экспоненциальной зависимости роста численности (экспоненциальной кривой роста). В данной моделипредполагается неограниченное количество природных ресурсов, доступных особям популяции, и отсутствие каких-либо сдерживающих факторов для роста численности. При таких допущениях численность особей в популяции возрастает по степенной зависимости, т.е. очень быстро и неограниченно .

Если обозначить через n 0 количество особей в популяции и начальный момент времени (t 0 ), а через N t количество особей в некоторый момент времени t (t>t 0). Тогда изменение численности ∆N за интервал времени ∆t . т.е. скорость роста популяции будет равна:

(1)

В выражении (1) приведена средняя скорость роста популяции. Однако в популяционной экологии чаще используется не абсолютная средняя скорость, а скорость роста на один организм (специфическая скорость):

(2)

Данный показатель позволяет сравнивать значения изменение численности популяциях разных размеров. В этом случае численность определяется как скорость увеличения на одну особь за определенный интервал времени.

Перейдя к предельной форме записи скорости при
0 и
и введя новоеобозначение:

(3)

В выражении (3) показатель r может быть определен как мгновенная удельная скорость роста популяции . Для различных популяций одного того же вида это показатель может иметь различные значения. Наибольшее из всех возможны значений (r max) называют биотическим или репродуктивным потенциалом популяции

С учетом выражения (3) скорость роста популяции можно описать следующим выражением

(4)

Продифференцировав выражение (4) получим, что в любой момент времени при условии r =с onst (константа скорости роста) численность особей в популяции будет равна:
(5)

Формула (5) описывает экспоненциальную модель роста популяции, которая в графическом виде имеет форму кривой (рис.1). Экспоненциальная модель роста отвечает условиям неограниченного роста численности особей в популяции.

Рис. 1. Экспоненциальная кривая роста численностиособей в популяции

1. Модель логистического роста

Максимальный размер популяции, который экосистема способна поддерживать неопределённо долго при неизменных природных условиях, называется ёмкостью экосистемы для данного вида.

Изменение численности популяции - это соотношение между биологическим потенциалом (прибавление особей) и сопротивлением среды (гибелью особей, смертностью). Факторы сопротивления среды ведут к увеличению смертности, и кривая численности выходит на плато или даже идет вниз, если популяционный взрыв вызвал истощение жизненно важных ресурсов экосистемы. Кривая роста численности популяции при сопротивлении среды приобретает S- образный вид (рис. 2).

Рис. 2 . Модель S-образного роста численности популяции

Таким образом, в естественных условиях неограниченный рост невозможен и рано или поздно численность популяции достигнет своего предела , который определяется ёмкостью среды (пространственной, пищевой и т.д.). Если обозначить через максимально возможное число особей в популяции некоторую величину К (ёмкость среды) и ввести поправочный показатель, учитывающий "сопротивление" среды росту численности в виде отношения:

,

то уравнение для такого случая запишется в виде:

(7)

Решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

(8)

где а - константа интегрирования, определяющая положение функции относительно начала координат, она может быть найдена из выражения (при условии, r = const ).

(9)

Выражение (8) описывает так называемую кривую логистического роста (рис.2). Это вторая простейшая математическая модель динамики популяции при условии верхнего предела численности и сопротивления среды росту численности. В соответствии с данной моделью численность популяции на первом этапе достаточно быстро растет, но затем скорость роста популяции замедляется и становится бесконечно малой вблизи величины К (логистическая кривая асимптотически приближается к горизонтали К).

Экспонента - это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4x4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , ачисло 2 - это экспонента.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного? При линейном росте величина увеличивается на каждом этапе на одно и то оке, а не на кратное число. Если мой стартовый капитал составляет 1000 долларов и каждый год увеличивается на 100 долларов, то через 10 лет я его удвою и буду иметь 2000 долларов. Вот это и есть линейный рост, на одну и ту же сумму каждый год. Но если мой стартовый капитал в 1000 долларов каждый год будет увеличиваться на 10 процентов, то через десять лет у меня будет 2594 доллара. Это пример экспоненциального роста с постоянным кратным числом ежегодного увеличения 1,1. Если же я буду продолжать свой бизнес еще 10 лет, то линейный рост даст мне общую сумму 3000 долларов, в то время как экспоненциальный - 6727 долларов.

Любой рынок или бизнес, поддерживающий уровень роста 10 процентов или больше на протяжении длительного периода времени, получит гораздо больший эффект с плане создания стоимости, чем мы интуитивно оцениваем. Некоторые компании- такие как IBM или McDonald"s за период с 1950 по

1985 год или Microsoft в 1990-х годах- сумели обеспечить уровень роста, превышающий 15 процентов в год, и во много раз увеличили свои капиталы. Если вы начнете со 100 долларов и в течение 15 лет будете увеличивать капитал на 15 процентов в год, то в конце у вас будет уже 3292 доллара, то есть почти в 33 раза больше, чем в начале. Незначительное увеличение процента роста приводит к большой разнице в результатах.

К примеру, американский биржевой брокер Уильям О"Нил создал для своих одноклассников фонд и управлял им с 1961 по 1986 год. За это время первоначальные 850 долларов превратились в сумму 51 653 доллара после выплаты всех налогов*. За 25 лет средний рост составил 17,85 процента в год, что выразилось в увеличении первоначальной суммы в 61 раз. Таким образом, мы видим, что если за 25 лет 15-процентный рост увеличивает капитал в 33 раза, то добавление меньше чем 3 процентных пунктов к темпам годового прироста увеличивает результат в 61 раз.

Экспоненциальный рост меняет вещи не только количественно, но и качественно. Например, при быстром росте индустрии - Питер Дрюкер называет цифру 40 процентов за 10 лет - меняется сама ее структура, и на первый план выходят новые лидеры рынка. Быстрому росту рынков способствуют новаторство, отсутствие закономерности, новые продукты, технологии или потребители. Новаторы по определению ведут дела не так, как все. Новые способы редко уживаются с привычками, идеями, процедурами и структурами существующих фирм. Новаторы нередко получают возможность снимать пенки на протяжении нескольких лет, пока традиционные лидеры не решат пойти в контратаку, но тогда может быть уже поздно.